Claude 沒解開黎曼猜想，但把臨界線上的零點比例下界從 41.6% 推到 67.2%

先把最重要的一句話放在前面：黎曼猜想沒有被解開。克雷數學研究所那一百萬美元還在原地。

八月的時候我寫這則新聞，只說模型「顯著推高了解的下界」。這句話沒錯，但等於沒講。到底是什麼的下界、從多少推到多少，原文沒寫，因為我當時只看了新聞報導。

這次我去讀了 Anthropic 自己的說明，也去看了它放在 GitHub 上的形式化證明。結果比「推高了下界」具體得多，也有意思得多：有一個數字，數學家花了 46 年把它從 33.3% 磨到 41.7%，一個還沒有名字的 Claude 版本在一天半裡把它推到了 67.2%。

這個結果到底在說什麼？

黎曼猜想講的是一個叫黎曼 zeta 函數的東西。這個函數有無窮多個「非平凡零點」，猜想說它們全部落在複數平面上的同一條直線上，這條線叫臨界線。

「全部」這兩個字沒有人證得出來。所以數學家退而求其次，問一個比較弱的問題：我們至少能證明有多少比例的零點在這條線上？

這個比例的下界有一段很長的歷史：

圖：臨界線上零點比例下界的歷史（本文整理；歷史數字依 XenoSpectrum，2026 年結果依 Anthropic 公告）

1942 年 Selberg 證明這個比例大於零。1974 年 Levinson 推到三分之一。1989 年 Conrey 推到 40%。然後就很慢了：2011 年 41.05%，2020 年 41.7%。XenoSpectrum 的報導算了一下，從 1974 到 2020 年，平均每年進步 0.18 個百分點，並且說 41% 出頭是既有方法（mollifier method）的天花板。

Anthropic 的公告寫，先前的下界是 41.6%，新的是 67.2%。（上面那張圖的 2020 年寫 41.7%，兩個數字出自不同來源，差了 0.1。我兩邊都照原樣列。）

要注意這個數字的意思。67.2% 是「至少」，不是「剛好」。它沒有說剩下的 32.8% 不在線上，只是說目前能證明的就這麼多。黎曼猜想要的是 100%。

這不就是往解開猜想前進了一大步嗎？

不是，而且 Anthropic 自己講得很白。公告裡的原話是：「我們不認為 Claude 用的技術會通往黎曼猜想的證明。」

這句話我覺得是整份公告最值得引的一句。一家公司在宣布自己的模型做出數學成果時，主動說這條路走不到終點。

道理是這樣的。把下界從 41% 推到 67% 用的方法，本質上是在估計「多少零點在線上」。這類方法就算一路推到 99.9%，也證明不了「沒有任何一個零點在線外」。那需要完全不同的想法。

所以正確的讀法是：這是一個獨立的、有意義的數論結果，剛好跟黎曼猜想有關。它不是那個大問題的進度條。

它是怎麼做出來的？

過程是我覺得最好看的部分，而且八月那篇有一處寫錯了。

起頭的人不是數學家。Anthropic 的員工 Jarred Sumner 叫 Claude「認真試試看」黎曼猜想，數學上的選擇全部交給模型。

第一次嘗試失敗了。 Claude 生成並試了 650 個想法，沒有一個行得通。八月那篇把「650 個想法」跟後面的成功寫成同一件事，其實 650 是失敗的那一輪。

第二次嘗試花了一天半，用了大約 60 個子代理。分工是這樣：

圖：第二次嘗試中子代理的分工（依 Anthropic 公告）

這張表有兩個地方值得看。

第一，真正做出關鍵想法的只有 2 個。30 個白忙一場，剛好一半。這個比例跟人類的研究團隊其實很像，大部分嘗試都不會有結果。

第二，驗證用了 13 個，跟提供想法的一樣多。它花在檢查上的人力不比花在想點子上的少。

公告列的工作量：大約 2,400 個 shell 指令、數百支 Python 腳本、數千次對照已知零點的數值檢查。兩次 Claude Code 工作階段合計大約 3,100 萬個輸出 token。八月那篇的開頭把它寫成「31 萬」，差了一百倍，這次更正。

數學上它做了什麼，我只能轉述。它把幾條既有的研究線接在一起：Montgomery 1973 年的技術（但那需要先假設黎曼猜想成立）、Aryan 以及 Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaugh 讓這套技術不需要該假設的工作，再加上 Bombieri 2000 年的一篇論文。Anthropic 說關鍵的一步是把整個空間一起處理，並容許一個非對角的二次型。這句話我看得懂字面，看不懂它為什麼是關鍵，所以不多做解釋。

人類貢獻了什麼？

這是最妙的細節。公告說 Sumner 的輸入「大部分是鼓勵」，像是「繼續」跟「相信你自己」。Anthropic 說這幫助 Claude 克服了一開始的懷疑。

換句話說，模型一開始不相信自己做得到。公告裡有一句：「連 Claude 都對自己的發現感到意外。」還補了一句帶點自嘲的話：也許 Claude 跟我們很多人一樣，低估了 AI 進步的速度。

註腳還提到，同樣的鼓勵式提示也用在另一件事上：讓 Claude 嘗試推翻雅可比猜想。

這個細節我會放在心上。兩個月後 Anthropic 發了一份關於模型在評測中「繞過限制」的報告，把那種行為叫 persistence，持續性。同一種「不放棄」的傾向，放在數學題上是美德，放在一個被擋住的網頁前面就變成問題。

這個結果被檢查過了嗎？

這是我最想搞清楚的部分。一個 AI 說它證明了什麼，憑什麼相信？

圖：這個結果目前被檢查到的程度（本文整理，依 Anthropic 公告與 XenoSpectrum 報導）

一層一層看。

模型自己做的：子代理互相審查、找反例、獨立重新證明一次，還下載了 54 篇 arXiv 論文確認這個結果是新的。然後它建議找一位人類數論學家來驗證。

Anthropic 內部兩位數學家 Levent Alpöge 跟 Ralph Furman 審閱了成果，寫了一份給專家看的簡短說明。

外部有兩位這個領域的專家 Brian Conrey 跟 Dan Goldston「在短時間內」看過論文。Conrey 就是上面那張歷史圖裡 1989 年把下界推到 40% 的人。

最後是形式化驗證。Claude 跟 Anthropic 的 Eric Easley 一起用 Lean 寫了機器可檢查的證明，放在 GitHub 上。我去看了那個儲存庫：

圖：Anthropic 公開的 Lean 形式化儲存庫說明（來源：github.com/anthropics/zeta-23-lean）

儲存庫的名字 zeta-23 指的就是三分之二。表裡的陳述比新聞稿多了一個詞：超過三分之二的零點是「單零點」而且在臨界線上。表裡把這個陳述標為 Alpöge–Furman，並附了一個 arXiv 編號。

README 寫了這個專案怎樣才算通過：在固定版本的工具鏈上建置成功，受信任的陳述檔之外不能有任何 sorry（Lean 裡代表「這裡先跳過」的佔位符），並且通過一個叫 comparator 的獨立檢查。

Lean 驗證能保證什麼，要講精確。它保證的是：從寫下的前提，用合法的邏輯步驟，確實推得出寫下的結論。它不保證那個結論就是大家以為的那個數學命題。陳述寫錯了，Lean 一樣會通過。這層判斷還是要靠人，上面那幾位數學家做的就是這件事。

還沒做的是傳統的那一步。XenoSpectrum 指出，這個結果還沒有投稿到期刊，也沒有經過正式的同儕審查。兩位外部專家的「短時間內檢視」，跟期刊審稿是不同性質的事。

我的判斷：以一個剛出來的數學結果來說，這個檢查程度算高，比多數預印本高。形式化證明是很強的證據。但「數學界已經接受」這句話現在還不能說。

數學界怎麼看 AI 做數學？

這不是今年唯一的案例。TechCrunch 的報導提到另外三件事：今年有好幾個 Erdős 問題被 AI 模型解開，OpenAI 公布了它內部的 Astra 模型證明的 10 個主要結果，Anthropic 另一項工作推翻了長期存在的雅可比猜想。這三件我沒有逐一去查細節，只照報導列出。

反應是分裂的。

今年六月，一群知名數學家簽署了〈萊頓宣言〉。TechCrunch 引了其中的核心主張：真正的證明應該「可歸屬於特定的作者，由他們取得發現的功勞，並為其正確性負責」。

菲爾茲獎得主 Timothy Gowers 在回應這份宣言的文章裡比較開放。他說，如果以後定理不再跟特定數學家的名字綁在一起，那也許不會比「星星不是用天文學家命名」這件事更有問題。

這次的結果剛好卡在這場爭論的正中間。模型沒有名字，是一個未發布的研究版本。形式化儲存庫把這個結果標在兩位審閱它的人類數學家名下。提出問題的人不懂數學，他的貢獻是說了幾次「繼續」。

那這個定理算誰的？

我自己的看法是，〈萊頓宣言〉擔心的「負責」這件事，在這個案例裡其實有人扛：Alpöge 跟 Furman 掛了名，等於替正確性背書。這是一個可行的做法，由人類數學家審閱、署名、負責，AI 做的事情寫清楚。它不漂亮，但它回答了「出錯找誰」。

比較難回答的是功勞。如果一個結果的關鍵想法出自 60 個子代理裡的 2 個，而這些子代理用完就消失了，「發現者」這個詞還適不適用，我不知道。

這篇的限制

• 數學內容我只能轉述，沒有能力獨立判斷證明對不對。
• 歷史下界的數字出自 XenoSpectrum 的整理，那篇自己對 2020 年的數字有 41.6% 跟 41.7% 兩種寫法。
• 過程的細節（子代理分工、token 數、鼓勵式提示）全部來自 Anthropic 自己的公告，沒有獨立來源。公告在 8 月 13 日更新過一次，換上了改寫過的論文。
• 那個模型是未發布的研究版本，外界無法重跑這個實驗。
• 其他 AI 數學成果（Erdős 問題、Astra 的 10 個結果、雅可比猜想）我只引了 TechCrunch 的一句話描述。